Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=kx+5與x交于點(diǎn)A，與y交于點(diǎn)B，與拋物線(xiàn)y=ax²+bx交于點(diǎn)C、D．已知點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，7），點(diǎn)C橫坐標(biāo)為5．
（1）求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式；
（2）將此拋物線(xiàn)沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移幾個(gè)單位，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）先把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+5求出k得到直線(xiàn)解析式為y=2x+5，再利用直線(xiàn)解析式確定D點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組求出a和b即可得到拋物線(xiàn)解析式；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的平移問(wèn)題，設(shè)將此拋物線(xiàn)沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移b個(gè)單位，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB一個(gè)交點(diǎn)，則平移后的拋物線(xiàn)為y=-x²+8x-b，把函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為-x²+8x-b=2x+5有相等的實(shí)數(shù)解，然后利用根的判別式的意義得到△=（-6）²-4（b+5）=0，再解方程求出b即可．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=kx+5過(guò)點(diǎn)C（1，7），
∴k+5=7，解得k=2，
∴直線(xiàn)解析式為y=2x+5，
當(dāng)x=5時(shí)，y=2×5+5=15，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，15），
把C（1，7）和D（5，15）分別代入得

a+b=7 25a+5b=15

，解得

a=-1 b=8

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+8x；
（2）設(shè)平移后的拋物線(xiàn)為y=-x²+8x-b，
∵y=-x²+8x-b與直線(xiàn)AB一個(gè)交點(diǎn)，
∴-x²+8x-b=2x+5有相等的實(shí)數(shù)解，
整理得x²-6x+5+b=0，
∴△=（-6）²-4（b+5）=0，解得b=4，
即此拋物線(xiàn)沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移4個(gè)單位，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨x的增大而減小．也考查二次函數(shù)與幾何變換和拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題．