Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦CD平分∠ACB，交弦AB于E．
（1）弦AD和BD相等嗎？為什么？
（2）寫出圖中的3對相似三角形，并證明其中的一對．

Answer 1

解：（1）弦AD=BD．理由如下：
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；

（2）△ACE∽△DBE，△ADE∽△CBE，△ACD∽△ECB．
∵∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，
∴△ACD∽△ECB．
分析：（1）由弦CD平分∠ACB，得到∠ACD=∠BCD，根據(jù)圓周角定理得到弧AD=弧BD，再根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等得到AD=BD；
（2）根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可得到△ACE∽△DBE，△ADE∽△CBE，△ACD∽△ECB．證明△ACD∽△ECB，由∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，即可證明△ACD∽△ECB，
點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了圓周角定理以及有兩組角對應相等的兩個三角形相似．