Question

如圖,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于點G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；
(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．（12分）

Answer 1

（1）可通過矩形中兩邊相等從而得出該四邊形為正方形。
（2）MN²=ND²+DH²  （3）AG=12，MN=5

解析試題分析：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,
由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.
(2)MN²=ND²+DH².
理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，
∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,
再證△AMN≌△AHN，得MN=NH， 
∴MN²=ND²+DH².
(3)設(shè)AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,
由Rt△ECF，得(x-4)²+(x-6)²=100,x₁=12,x₂=-2(舍去) ∴AG=12.
由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,
設(shè)NH=y,由Rt△NHD,得y²=(9-y)²+(3)²,y=5,即MN=5.
考點：四邊形的性質(zhì)和判定及勾股定理
點評：對于證明題，學生可采用逆向思維驗證，對于求邊相等的，可采用全等三角形，求取邊的具體長度的，勾股定理是首要選擇。