Question

在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中點(diǎn)，DE⊥AM，垂足為E．
（1）如圖①，求DE的長(zhǎng)（用a，b表示）；
（2）如圖②，若垂足E落在點(diǎn)M或AM的延長(zhǎng)線上，結(jié)論是否與（1）相同？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)定義求出AM，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AMB=∠DAE，然后利用兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ABM和△DEA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；
（2）結(jié)論不變，求解過(guò)程完全相同．

解答：解：（1）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，BC=b，
∴BM=

1

2

b，
∴AM=

AB2+BM2

=

a2+( b 2 )2

=

4a2+b2

2

，
∵∠BAM+∠DAE=∠BAC=90°，
∠BAM+∠AMB=180°-90°=90°，
∴∠AMB=∠DAE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴

DE

AB

=

AD

AM

，

DE

a

=

b

4a2+b2 2

，
解得DE=

2ab

4a2+b2

=

2ab 4a2+b2

4a2+b2

；

（2）垂足E落在點(diǎn)M或AM的延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論與（1）相同，求解過(guò)程可以與（1）完全相同．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)垂足E變化，而相似的三角形始終不變考慮解答是解題的關(guān)鍵．