Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動小組在做角的拓展圖形練習(xí)時，經(jīng)歷了如下過程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：點為直線上一點，過點作射線，使將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方，如圖：將圖1中的三角板繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部，且恰好平分時，如圖2．則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可）.

①②③平分④的平分線在直線上

（2）數(shù)學(xué)思考：同學(xué)們在操作中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)時，如果直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線AB的下方，那么與的差不變，請你說明理由；如果直角三角板的、邊都在的內(nèi)部，那么與的和不變，請直接寫出與的和，不要求說明理由．

（3）類比探索：三角板繞點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部時，如圖3，求與相差多少度？為什么？

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）如果直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線AB的下方，那么與的差不變，理由見解析；如果直角三角板的、邊都在的內(nèi)部，那么與的和不變，+=30°;③30°.

【解析】

（1）利用角平分線的定義結(jié)合直角三角板的內(nèi)角度數(shù)即可分別判斷得出答案；
（2）當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線AB的下方時根據(jù)∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，可得出結(jié)果；當(dāng)直角三角板的、邊都在的內(nèi)部時，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON，可得出結(jié)果；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）∵，平分，∴，故①正確；

∵，，∴，，∴，故②正確；

∵，，∴不平分，故③錯誤；

∵，，∴，∴的平分線在直線上，故④正確；

故答案為：①②④.

（2）與的差不變.理由如下：當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線AB的下方時，

∵∠COM=∠BOC-∠COM=120°-∠BOM，
∠BON=∠MON-∠BOM=90°-∠BOM，
∴∠COM-∠BON=120°-90°=30°；
與的和不變，其和為30°.理由如下：當(dāng)直角三角板的、邊都在的內(nèi)部時，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON=120°-90°=30°.

（3）∵，，

∴．