Question

11．如圖，△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DF⊥AC于F，E在AB上，且DE=AE，連結(jié)EF．若AB=4+2$\sqrt{3}$，則EF的長為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 過點F作FM⊥BC于點M，作FN⊥AB于點N，則四邊形FNBM為長方形，由∠B=90°、∠C=60°、AB=4+2$\sqrt{3}$可求出AC、BC的長度，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出AF、CF的長度以及DF=BD，通過解Rt△CFD和Rt△CFD可得出FM、CM、BD的長度，設(shè)BE=x，則DE=AE=4+2$\sqrt{3}$-x，在Rt△EBD中利用勾股定理可求出x的值，從而得出EN的長度，再在Rt△FEN中利用勾股定理可求出EF的長度．

解答 解：過點F作FM⊥BC于點M，作FN⊥AB于點N，則四邊形FNBM為長方形，如圖所示．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，AB=4+2$\sqrt{3}$，
∴AC=4+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，BC=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵AD平分∠BAC，
∴AF=AB=4+2$\sqrt{3}$，BD=FD，
∴CF=AC-AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△CFM中，∠C=60°，∠CMF=90°，CF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，F(xiàn)M=1．
同理，可求出：BD=DF=2．
設(shè)BE=x，則DE=AE=4+2$\sqrt{3}$-x．
在Rt△EBD中，DE²=BE²+BD²，
即（4+2$\sqrt{3}$-x）²=x²+2²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，EN=BE-BN=2$\sqrt{3}$-1．
在Rt△FEN中，∠ENF=90°，EN=2$\sqrt{3}$-1，F(xiàn)N=BC-CM=2+$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故選D．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形找出BE、BC、CM、FN的值是解題的關(guān)鍵．