Question

（2012•大連二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D．E是⊙O上的一點，∠DEB=45°，BF⊥DE，垂足為F．
（1）猜想CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若DC=6，cos∠ADE=

2

3

，求DF的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，即可得∠BOD=90°，又由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥DC，即可求得OD⊥CD，則可得CD與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）連接AE，由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=DC=6，由圓周角定理，可得∠AEB=90°，然后在Rt△ABE中，由余弦函數(shù)的定義，即可求得BE的長，然后由勾股定理即可求得DF的值．

解答：（1）CD是⊙O的切線．
證明：連接OD．則∠BOD=2∠DEB=2×45°=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=180°-∠BOD=180°-90°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：連接AE，則∠ABE=∠ADE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC=6．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，cos∠ABE=

BE

AB

=cos∠ADE=

2

3

．  
∴

BE

6

=

2

3

，
∴BE=2

2

，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°．
∴BF=BE•sin45°=2

2

×

2

2

=2，
∵∠BOD=90°，OB=DO=3，
∴BD=

OB2+OD2

=

32+32

=3

2

，
∴DF=

BD2-BF2

=

(3 2 )2-22

=

14

．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．