Question

如圖，直線y＝x＋m(m≠0)交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B且AB＝5，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，以0．8個(gè)單位/秒的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線AB方向平行移動(dòng)．直線l在平移過(guò)程中交射線AB于點(diǎn)F、交y軸于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)O的時(shí)間為t(t≥0)s．

(1)求直線AC的解析式；

(2)直線l在平移過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△BOF為等腰三角形時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)直線l在平移過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)E到直線l的距離為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y＝x＋m交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B， 　　∴B(0，m)、A(－3，0)．(1分) 　　∵AB＝5， 　　∴m2＋32＝52，解得m＝±4． 　　∵m＞0， 　　∴m＝4． 　　∴B(0，4)． 　　∴OB＝4．(2分) 　　∵直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，易得△BOA∽△AOC， 　　∴＝． 　　∴CO＝＝＝． 　　∵點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上， 　　∴C(0，－)．(3分) 　　設(shè)直線AC解析式為y＝kx＋b， 　　∵A(－3，0)，C(0，－)， 　　∴{－3k＋b＝0，b＝－}，解得 　　∴y＝－x－．(5分) 　　 　　(3)分兩種情況：第一種情況：當(dāng)0≤t≤5時(shí)， 　　解法一：如圖，作ED⊥FG于D，則ED＝d． 　　由題意，FG∥AC， 　　∴＝， 　　∵AF＝t，AB＝5， 　　∴BF＝5－t． 　　∵B(0，4)，C(0，－)， 　　∴BC＝4＋＝． 　　∴＝． 　　∴BG＝(5－t)． 　　∵OE＝0.8t，OB＝4， 　　∴BE＝4－0.8t． 　　∴EG＝(5－t)－(4－0.8t)＝－t． 　　∵FG⊥AB，ED⊥FG， 　　∴∠GDE＝∠GFB＝90°． 　　∴ED∥AB． 　　∴． 　　 　　∴d＝－t＋．(11分) 　　解法二：如圖，作ED⊥FG于點(diǎn)D，則ED＝d，連結(jié)EF． 　　則OE＝0.8t，AF＝t． 　　∵OB＝4，AB＝5， 　　∴BE＝4－0.8t，BF＝5－t． 　　∴＝． 　　又∠EBF＝∠OBA， 　　∴△EBF∽△OBA． 　　∴∠BFE＝∠BAO． 　　∴EF∥AO． 　　∴＝． 　　∴EF＝＝． 　　∵∠AOB＝90°，EF∥AO， 　　∴∠FEB＝∠AOB＝90°． 　　∴∠BFE＋∠FBE＝90°， 　　∵∠BFE＋∠EFD＝90°， 　　∴∠FBE＝∠EFD． 　　又∠AOB＝∠EDF＝90°， 　　∴△OBA∽△DFE． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝－t＋．(11分) 　　第二種情況：當(dāng)t＞5時(shí)，解法一：如圖， 　　作ED⊥FG于D，則ED＝d， 　　則題意，FG∥AC， 　　∴． 　　∵AF＝t，AB＝5， 　　∴BF＝t－5． 　　∵B(0，4)，C(0，－)， 　　∴BC＝4＋＝． 　　∴＝． 　　∴BG＝(t－5)． 　　∵OE＝0.8t，OB＝4， 　　∴BE＝0.8t－4，EG＝(t－5)－(0.8t－4) 　�。�t－． 　　∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE＝∠GFB＝90°， 　　∴ED∥AB． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝t－．(14分) 　　解法二：如圖，作ED⊥FG于點(diǎn)D，則ED＝d，連接EF． 　　則OE＝0.8t，AF＝t． 　　∵OB＝4，AB＝5， 　　∴BE＝0.8t－4，FB＝t－5． 　　∴＝． 　　又∠EBF＝∠OBA， 　　∴△EBF∽△OBA． 　　∴∠BFE＝∠BAO． 　　∴EF∥AO． 　　∴＝． 　　∴EF＝＝． 　　∵∠BFE＋∠EFD＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°， 　　又∠BFE＝∠BAO， 　　∴∠EFD＝∠ABO． 　　又∠EDF＝∠AOB＝90°， 　　∴△DFE∽△OBA． 　　∴＝． 　　∴＝． 　　∴d＝t－． 　　∴d＝(14分)