Question

【題目】如圖，直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上的一動點(diǎn)，若S△AOB∶S△PAB＝8∶3，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)E是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上的點(diǎn)，判斷有幾個位置能夠使得點(diǎn)E，F，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）F(5，－)，(－3，－)，(3，)．

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出的面積，從而可得的面積，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖1（見解析），從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可；

（3）分OB為平行四邊形的一條邊和OB為平行四邊形的一條對角線兩種情況，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別求解即可．

（1）對于直線

當(dāng)時，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

當(dāng)時，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

將點(diǎn)，代入拋物線的解析式得：

解得

則拋物線的解析式為；

（2）

如圖1，過點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)C

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

即

解得或

當(dāng)時，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

當(dāng)時，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）拋物線的對稱軸為

根據(jù)平行四邊形的定義，分以下兩種情況：

①當(dāng)OB為平行四邊形的一條邊時

此時，有以下兩種情況，如圖2所示：

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將其代入拋物線的解析式得：

即點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將其代入拋物線的解析式得：

即點(diǎn)的坐標(biāo)為

②當(dāng)OB為平行四邊形的一條對角線時，如圖3所示：

為平行四邊形

過點(diǎn)分別作x軸的平行線，分別交y軸和y軸的平行線與點(diǎn)M、N

，即

又

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將其代入拋物線的解析式得：

即點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．