Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是一個(gè)面積為48的直角梯形，∠C=90°，∠DAO=45°，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0）直線l經(jīng)過點(diǎn)A，D兩點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）；直線l的解析式為y=x+4；
（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M的相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）利用△AOD是等腰直角三角形，四邊形ABCD是一個(gè)面積為48的直角梯形以及點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出OA=OD=4，即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），然后利用待定系數(shù)法可求出直線l的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M的相遇時(shí)，可得2t-4=10-（4t-4），可求得t=3，然后分三種情況：0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3，分別利用圖形的性質(zhì)，三角形的面積公式進(jìn)行分析解答即可；
（3）在△QMN中，∠QMN=90°，因此當(dāng)MN=MQ時(shí)△QMN為等腰三角形．當(dāng)2＜t＜3時(shí)，MQ=18-6t，OP=MN=DM=2t，進(jìn)而由MN=MQ得到2t=18-6t，求出t的值；當(dāng)3＜t＜3.5時(shí)，由于MN=DM＞MQ，可知此種情況不成立．

解答 解：（1）（-4，0）；y=x+4；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M的相遇時(shí)，可得2t-4=10-（4t-4），
解得t=3，即當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇．
分三種情況：
①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如題圖，
此時(shí)AP=MP=2t，BP=AB-AP=14-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•BP=$\frac{1}{2}$•2t•（14-2t）=-2t²+14t；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖1，
此時(shí)AP=MP=2t，CQ=4t-4，DQ=CD-CQ=10-（4t-4）=14-4t，
△MPQ的MP邊上的高h(yuǎn)為：h=AB-AP-CQ=14-2t-（4t-4）=18-6t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•h=$\frac{1}{2}$•2t（18-6t）=-6t²+18t；
③當(dāng)2＜t＜3時(shí)，如圖2，
此時(shí)MP=4，OP=DM=2t-4，CQ=4t-4，MQ=CD-DM-CQ=10-（2t-4）-（4t-4）=18-6t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•MQ=$\frac{1}{2}$×4•（18-6t）=-12t+36；

（3）在△QMN中，∠QMN=90°，因此當(dāng)MN=MQ時(shí)△QMN為等腰三角形．
當(dāng)2＜t＜3時(shí)，如圖3，MQ=18-6t，OP=MN=DM=2t，
由MN=MQ可得2t=18-6t，
解得t=$\frac{11}{4}$；
當(dāng)3＜t＜3.5時(shí)，如圖4，
由于MN=DM＞MQ，可知此種情況不成立．
所以t=$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直角梯形等知識(shí)，具有一定的綜合性，解答本題時(shí)注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運(yùn)用．