Question

20．如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小紅按如下步驟作圖：
①分別以A、C為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；
②連接MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；
③過C作CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．
則四邊形ADCE的周長為（　　）

• A． 10
• B． 20
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 由根據(jù)題意得：MN是AC的垂直平分線，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可證得CD∥AE，繼而證得四邊形ADCE是菱形，再根據(jù)勾股定理求出AD，進(jìn)而求出菱形ADCE的周長．

解答 解：∵分別以A、C為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N，
∴MN是AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是菱形；
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×3=1.5，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2.5，
∴菱形ADCE的周長=4AD=10．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．