Question

8．如圖，在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)．若tan∠CAB=2，則k的值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，通過角的計(jì)算找出∠AOE=∠COF，結(jié)合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}$，再由tan∠CAB=$\frac{AO}{CO}$=2，可得出CF•OF=8，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

由直線AB與反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}$．
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{AO}$=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=|-2|=2，CF•OF=|k|，
∴k=±8．
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴k=8．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF•OF=8．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．