Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，若橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則稱為格點(diǎn)多邊形．記格點(diǎn)多邊形的面積為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為n，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為l，例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1，n=0，l=4．
（1）寫出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，n，l．
（2）奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=n+al+b，其中a，b為常數(shù)．
①利用圖中條件求a，b的值；
②若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的n=20，l=15，求S的值；
③在圖中畫出面積等于5的格點(diǎn)正方形PQRS．

Answer 1

分析 （1）理解題意，觀察圖形，即可求得結(jié)論；
（2）①根據(jù)格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG中的S、n、l 的值可得關(guān)于a、b的方程組，通過(guò)解方程組來(lái)求它們的值；
②把相關(guān)數(shù)值代入①中的關(guān)系式進(jìn)行解答；
③利用①中的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行解答．

解答 解：（1）觀察圖形，可得S=3，n=1，l=6；    

（2）①根據(jù)格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG中的S、n、l 的值可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{1+6a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴S=n+$\frac{1}{2}$l-1；
②將n=20，l=15代入可得S=20+$\frac{1}{2}$×15-1=26.5．
③如圖：
    

點(diǎn)評(píng) 此題考查格點(diǎn)圖形的面積變化與多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，從簡(jiǎn)單情況分析，找出規(guī)律解決問(wèn)題．