Question

15．如圖，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分別為AD、BC中點(diǎn)．連結(jié)AF、HG、AH．
（1）求證：AF=HG；
（2）求證：∠FAD=∠GHC；
（3）試探究∠FAH與∠AFE的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得出AE=HC，AE∥HC，求出四邊形AHCE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AH=EC，AH∥EC，求出四邊形AHGF是平行四邊形，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行線得出∠FAH+∠AHG=180°，求出∠DAH=∠AHB，根據(jù)∠AHB+∠AHG+∠GHC=180°即可得出答案；
（3）過A點(diǎn)作AM∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MAF=∠AFE，求出MA⊥AH，根據(jù)垂直得出∠MAF+∠FAH=90°，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，且E、H分別為AD、BC的中點(diǎn)，
∴AE=HC，AE∥HC，
∴四邊形AHCE為平行四邊形，
∴AH=EC，AH∥EC，
又∵四邊形ECGF為正方形，
∴EC=FG，EC∥FG，
∴AH=FG，AH∥FG，
∴四邊形AHGF是平行四邊形，
∴AH=FG；

（2）證明：∵四邊形AHGF是平行四邊形，
∴∠FAH+∠AHG=180°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHB，
又∵∠AHB+∠AHG+∠GHC=180°，
∴∠FAD=∠GHC；

（3）∠FAH+∠AFE=90°，
證明：過A點(diǎn)作AM∥EF，
則∠MAF=∠AFE，
∵AM∥EF，AH∥EC，F(xiàn)E⊥EC，
∴MA⊥AH，
∴∠MAF+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFE=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．