Question

20．如圖，矩形紙片ABCD，AB=$\sqrt{3}$，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．
（1）求證：∠ABM=30°；
（2）求證：△BMG是等邊三角形；
（3）若P為線段BM上一動點，求PN+PG的最小值．

Answer 1

分析 （1）由對折，判斷出BN垂直平分MG，通過計算即可；
（2）由（1）∠ABM=∠NBM=GBN=30°，得出∠MBG=60°，即可；
（3）先計算出BG=BM=2，再判斷出點N與點A關(guān)于直線BM對稱，得到PN+PG的最小值為AG，計算即可．

解答 證明：（1）∵對折AD與BC重合，
∴點E是AB的中點，
∴點N是MG的中點，
∵∠BNM=∠A=90°，
∴BN垂直平分MG，
∴BM=BG，
∴∠GBN=∠MBN，
由翻折的性質(zhì)，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=∠GBN=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∴∠MBG=60°；
（2）由（1）知，∠ABM=∠NBM=GBN=30°，
∴∠MBG=60°，
∵BM=BG，
∴△BMG為等邊三角形，
（3）如圖，

連接PN，PA，PG，
∵AB=$\sqrt{3}$，∠ABM=30°，
∴BM=2，
∴BG=BM=2，
∴由折疊的性質(zhì)知，點N與點A關(guān)于直線BM對稱，
∴PN=PA，
∴PN+PG的最小值為AG，
∵AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴PN+PG的最小值為$\sqrt{7}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了對折的性質(zhì)，等邊三角形的判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是計算出相關(guān)的角．