Question

13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AE=AF，EH⊥BF，AM⊥BF，求證：HM=CM．

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形，先證明△BAF≌△ACG，AF=CG，再證明四邊形EHDA是平行四邊形，得
DH=AE，所以DH=CG，最后證明△DHM≌△GMC，可得結論．

解答 證明：過C作CG⊥AC，交AM的延長線于G，過H作HD∥AB，交AM于D，
∵EH⊥BF，AM⊥BF，
∴EH∥AM，
∴四邊形EHDA是平行四邊形，
∴DH=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAC+∠BAM=90°，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，
∴∠MAC+∠G=90°，
∴∠G=∠BAM，
∵∠BAC=∠ACG=90°，AB=AC，
∴△BAF≌△ACG，
∴AF=CG，
∴DH=CG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DH∥AB，
∴∠DHM=∠ABC=45°，
∵∠ACG=90°，
∴∠MCG=45°，
∴∠MCG=∠DHM，
∵∠DMH=∠GMC，
∴△DHM≌△GMC，
∴HM=MC．

點評 本題考查了等腰三角形、全等三角形的性質和判定，正確作出輔助線是本題的關鍵；輔助線巧妙地把等腰三角形的兩腰放在了兩個全等的三角形中，為全等三角形構建了一組對應邊相等；同時構建的平行四邊形又將已知相等的邊平移到了另一組全等的三角形中，使問題得以解決．