Question

（2005•棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB與DC相交于點(diǎn)E，AB=CD．
（1）求證：△AEC≌△DEB；
（2）點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)嗎？試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證△AEC≌△DEB，由于AB=CD，根據(jù)等弦所對(duì)的弧相等得=，根據(jù)等量減等量還是等量，得=，由等弧對(duì)等弦得BD=CA，由圓周角定理得，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，即可根據(jù)AAS判定；
（2）由△AEC≌△DEB得，BE=CE，得到點(diǎn)E在直線(xiàn)BC的中垂線(xiàn)上，連接BO，CO，BO和CO是半徑，則BO和CO相等，即點(diǎn)O在線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)上，亦即直線(xiàn)EO是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)．
解答：（1）證明：∵AB=CD，
∴=．
∴-=-．
∴=．
∴BD=CA．
在△AEC與△DEB中，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB（AAS）．

（2）解：點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)．
理由如下：如圖，連接OB、OC、BC．
由（1）得BE=CE．
∴點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)上，
∵BO=CO，
∴點(diǎn)O在線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)上，
∴直線(xiàn)EO是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了圓周角定理、等弦所對(duì)的弧相等，等弧對(duì)等弦、全等三角形的判定和性質(zhì)求解．