Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展平后，折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G，連接GF，下列結(jié)論：
①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S_△DOG=S_{四邊形EFOG}；④四邊形ABFG為等腰梯形；⑤BE=2OG．
其中一定正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：求出∠AEG、∠AGE的度數(shù)即可判斷①；
設(shè)EF=x，則AE=x，BE=

2

x，將計(jì)算出tan∠AEG即可判斷②；
易得△DOG∽△DFE，求出OG的長(zhǎng)度，利用面積比等于相似比平方可判斷③；
根據(jù)折疊的性質(zhì)及平行四邊形的判定可判斷④；
根據(jù)前面所求的線段的長(zhǎng)度表達(dá)式可判斷⑤．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ADE=∠FDE=

1

2

∠ADB=22.5°，
則∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正確；
設(shè)EF=x，則AE=x，BE=EF=

2

x，AB=AE+BE=（

2

+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=

AD

AE

=

AB

AE

=

2

+1．即②錯(cuò)誤；
∵AB=（

2

+1）x，
∴AO=（1+

2

2

）x，OG=AO-AG=AO-AE=

2

2

x，
易得△DOG∽△DFE，
∵

S△DOG

SDFE

=（

OG

EF

²=

1

2

，
∴可得S_△DOG=S_{四邊形EFOG}，即③正確；
∵∠AGE=∠FGE（折疊的性質(zhì)），∠AGE=∠AEG（①已證），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF∥AB，
又∵BF=EF（等腰直角三角形的性質(zhì)）=AE=AG，
∴四邊形ABFG為等腰梯形，即④正確；
由上面的解答可得：AE=

2

x，OG=

2

2

x，
故可得BE=2OG，即⑤正確．
綜上可得：①③④⑤正確，共4個(gè)．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的知識(shí)，綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定及正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，難度較大．