Question

4．如圖1，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C、D分別為半徑OA與AB上，且AC=2，CD∥OB，點P是CD上一動點，過P作PO的垂線交弧AB于點E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF
（1）若CP=CO時，求EF的值；
（2）如圖2，聯(lián)結(jié)EO、FO，若∠EOF=60°，求CP的長
（3）設(shè)CP=x，y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）連接OE，首先求出OP的長，在Rt△OPE中，求出EP，根據(jù)垂徑定理EF=2EP即可解決問題．
（2）首先判斷∠EOP=30°，求出EP，結(jié)合AC=2求出OC，在Rt△OCP中，可求出CP的長．
（3）如圖3中，連接OE、OD，作DH⊥EF于H．由△COP∽△HPD，得$\frac{OP}{DP}$=$\frac{PC}{DH}$，求出DH，再根據(jù)y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EF•DH}{\frac{1}{2}•EF•OP}$，計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，連接OE．

∵OC=CP=3，∠OCP=90°，
∴OP=3$\sqrt{3}$，
∵OP⊥EF，
∴EP=PF，EF=2EP，
在Rt△OPE中，∵∠OPE=90°，OE=5，OP=3$\sqrt{2}$，
∴EP=$\sqrt{O{E}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{25-18}$=$\sqrt{7}$，
∴EF=2$\sqrt{7}$．

（2）如圖2中，連接OE．

∵OE=OF，∠EOF=60°，
∴△EOF是等邊三角形，
∵OP⊥EF，
∴∠EOP=∠FOP=30°，
∴OP=OE•cos30°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△COP中，PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．

（3）如圖3中，連接OE、OD，作DH⊥EF于H．

在Rt△COD中，CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DP=4-x，OP=$\sqrt{O{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{9+{x}^{2}}$，
∵∠CPO+∠DPH=90°，∠COP+∠CPO=90°，
∴∠COP=∠DPH，∵∠OCP=∠DHP=90°，
∴△COP∽△HPD，
∴$\frac{OP}{DP}$=$\frac{PC}{DH}$，
∴$\frac{\sqrt{9+{x}^{2}}}{4-x}$=$\frac{x}{DH}$，
∴DH=$\frac{x（4-x）}{\sqrt{9+{x}^{2}}}$，
∴y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EF•DH}{\frac{1}{2}•EF•OP}$=$\frac{4x-{x}^{2}}{9+{x}^{2}}$．（$\sqrt{6}$≤x＜4）．

點評 此題考查了圓的綜合，涉及了垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識點較多，解答本題關(guān)鍵還是基本知識的掌握，要求同學(xué)們會運用數(shù)形結(jié)合思想解題．