Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上．

（1）如圖1，以O(shè)A為底邊向第一象限作等腰△OAK，直線(xiàn)BC∥y軸，交AK，OK分別于點(diǎn)B，C．求證：AB=OC；
（2）如圖2，點(diǎn)D（2a，0），（a＞0），點(diǎn)P（a，b）在線(xiàn)段AD上，連接PB，PC，求證：PB=PC；
（3）如圖3（示意草圖），已知A（0，2），E（6，3），M（m，0），N（m+1，0），若AM+MN+NE最小，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出線(xiàn)段MN（保留主要畫(huà)圖痕跡），并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CBK=∠BCK，推出BK=CK，根據(jù)KA=KC，即可推出AB=OC；
（2）如圖2中，連接PO．只要證明△PAB≌△POC即可解決問(wèn)題；
（3）如圖4中，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到A′，作點(diǎn)A′關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A″，連接A″E交x軸于N，點(diǎn)N向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)M，則此時(shí)AM+MN+NE的值最小．求出直線(xiàn)A″E的解析式，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）如圖1中，

∵KA=KO，
∴∠KAO=∠KOA，
∵BC∥OA，
∴∠CBK=∠OAK，∠BCK=∠AOK，
∴∠CBK=∠BCK，
∴BK=CK，
∵KA=KO，
∴AB=OC．

（2）如圖2中，連接PO．

∵點(diǎn)D（2a，0），（a＞0），點(diǎn)P（a，b）在線(xiàn)段AD上，
∴PA=PD，∵∠AOD=90°，
∴PO=PA=PB，
∴∠PAO=∠POA，
∵∠BAC=∠COA（由（1）可知，
∴∠PAB=∠POC，
∵BA=OC（已證），
∴△PAB≌△POC，
∴PB=PC．

（3）如圖4中，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到A′，作點(diǎn)A′關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A″，連接A″E交x軸于N，點(diǎn)N向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)M，則此時(shí)AM+MN+NE的值最�。�

易知A″（1，-2），E（6，3），
設(shè)直線(xiàn)A″E的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{6k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x-3，
∴N（3，0），
∵M(jìn)N=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用的長(zhǎng)解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．