Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB的中點，BE平分∠ABC，分別交AC、CD于點E、F，過點E作EG∥AB，分別交BC、CD于點G、O，連接DG．下列結論：
①EG=AE；②∠BGD=∠BDG；③S_△ABE=2S_△CBE；④DF=BG；⑤AC=（+1）CF．
其中正確結論的個數(shù)為

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

B
分析：過點E作EH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EH=EC，然后判斷出△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EH，EG=EC，從而得到EG=AE，判斷出①正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，BG=EG=CG，BD=（CG+CG），求出BG≠BD，所以∠BGD≠∠BDG，判斷出②錯誤；AE=EH=CE，根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S_△ABE=S_△CBE，判斷出③錯誤；求出△BDF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出==，根據(jù)角平分線的定義求出∠CBE=22.5°，然后求出∠BEG=22.5°，從而得到∠CBE=∠BEG，根據(jù)等角對等邊可得BG=EG，再根據(jù)EG=CE整理即可得到DF=BG，判斷出④正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BC=CD，再根據(jù)CF=CD-DF整理即可得解，判斷出⑤正確．
解答：如圖，過點E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EH=EC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，EG∥AB，
∴△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，
∴AE=EH，EG=EC，
∴EG=AE，故①正確；
由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，BG=EG=CG，BD=（CG+CG）=（+1）CG，
∴BG≠BD，
∴∠BGD≠∠BDG，故②錯誤；
又∵AE=EH=CE，
∴S_△ABE=S_△CBE，故③錯誤；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵點D是AB的中點，
∴CD⊥AB，
∴∠BDF=∠ACB=90°，
∴△BDF∽△BCE，
∴==，
又∵∠BEG=∠CGE-∠CBE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBE=∠BEG，
∴BG=EG，
又∵EG=CE，
∴DF=CE=×BG=BG，故④正確；
由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，BC=CD，
CF=CD-DF=BC-BG，
∵CG=EG=BG，
∴BC=BG+BG，
∴BG=（2-）BC，
∴CF=BC-（2-）BC=（-1）BC，
∴BC=CF=（+1）CF，
∴AC=（+1）CF，故⑤正確．
綜上所述，正確的有①④⑤共3個．
故選B．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟練掌握各性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵，本題難點在于多次利用等腰直角三角形的性質(zhì)．