Question

如圖，已知拋物線y=x²2x＋1的頂點(diǎn)為P，A為拋物線與y軸的交點(diǎn)，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為B，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)O′，過點(diǎn)B和P的直線l交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置．

(1) 求直線l的函數(shù)解析式；

(2) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S_△DQC= S_△DPB? 若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

．(1) 配方,得y=(x2)² 1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為P(2，1) ．

取x=0代入y=x² 2x＋1，得y=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，1)．由拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)A(0，1)與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，1)．

設(shè)直線l的解析式為y=kx＋b(k≠0)，將B、P的坐標(biāo)代入，有

解得∴直線l的解析式為y=x3．

(2) 連結(jié)AD交O′C于點(diǎn)E，∵ 點(diǎn)D由點(diǎn)A沿O′C翻折后得到，

∴ O′C垂直平分AD．

由(1)知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．

據(jù)面積關(guān)系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．

作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽R(shí)t△CO′A，∴，

∴ AF=?AC=，DF=?O′A=，

又 ∵OA=1，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1= ，∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．

(3) 顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點(diǎn)，

∴ 點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，∴ S_△DPC= S_△DPB ．

故要使S_△DQC= S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC ．

過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點(diǎn)與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S_△DPC ，故m與拋物線的交點(diǎn)即符合條件的Q點(diǎn)．

容易求得過點(diǎn)C(0，3)、D(，)的直線的解析式為y=x3，

據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=x．

令x²2x＋1=x，解得 x₁=2，x₂=，代入y=x，得y₁= 1，y₂=，

因此，拋物線上存在兩點(diǎn)Q₁(2，1)(即點(diǎn)P)和Q₂(，)，使得S_△DQC= S_△DPB．