Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-x-10與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

解：（1）在拋物線中，
令x=0，得y=-10．
則B（0，-10）．
令y=0，得x=-10或18．
則A（18，0）．
令y=-10，得x=0或8．
則C（8，-10）．
∵=，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-）．

（2）由（1）知：OA=18，BC=8．
由于QC∥PA，所以當(dāng)PA=QC時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形，
則18-4t=t．
解得t=3.6．
故當(dāng)t=3.6秒時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形．

（3）∵QC∥DE∥OA，
∴．
∴AF=OP，
∴PF=OA=18．
∴P（4t，0），Q（8-t，-10），F(xiàn)（18+4t，0）．
∴構(gòu)造直角三角形后，由勾股定理知，
PF²=18²=324，PQ²=（8-5t）²+10²=25t²-80t+164，QF²=（10+5t）²+10²=25t²+100t+200．
①若PQ=PF，由25t²-80t+164=324，
解得：，
取正數(shù)＞4.5，舍去；
②若QP=QF，
由25t²-80t+164=25t²+100t+200，
解得：（舍去）；
③若FP=FQ，
由324=25t²+100t+200，
解得：．
取正數(shù)＜4.5．
綜上，當(dāng)時(shí)，△PQF為等腰三角形．
分析：（1）在y=x²-x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x軸，可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10．由-10=x²-x-10可求C，由y=x²-x-10=（x-4）²-可求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．從而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，F(xiàn)Q²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．利用FP=FQ，QP=QF，PQ=PF分別進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用，要求考試能夠利用基本知識(shí)進(jìn)行一定的推理，要求考試具備一定的邏輯推理的能力，有很強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力．