Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，M為AB的中點，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求證：MD=AM．

Answer 1

證明：如圖，連接CM，設AB、CD相交于點E，
則CM是斜邊上的中線，MC=MB=AM，
∴∠MCB=∠B，
∵CD平分∠ACB，∠C=90°，
∴∠BCD=×90°=45°，
∴∠MCD=∠MCB-45°=∠B-45°，
又∵∠DEM=∠BEC=180°-∠B-45°=135°-∠B，
∴∠D=90°-∠DEM=∠B-45°，
∴∠D=∠MCD，
∴MD=MC，
∴MD=AM．
分析：連接CM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=MB，根據(jù)等邊對等角的性質求出∠MCB=∠B，然后表示出∠MCD，再利用MD⊥AB，∠DEM與∠BEC是對頂角，利用△BCE的角的關系表示出∠D，整理即可得到∠D=∠MCD，最后根據(jù)等角對等邊的性質即可證明．
點評：本題考查了角平分線的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形內(nèi)角和定理，作出輔助線構造出與∠D相等的角∠MCD是解題的關鍵，難度中等．