Question

1．如圖，點(diǎn)A，B都在直線l的同一側(cè)，若P為直線l上一點(diǎn)，且滿足PA+PB最短為點(diǎn)A到直線l的距離與點(diǎn)B到直線L的距離之和的2倍，則∠APB=120度．

Answer 1

分析 如圖所示作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA′+PB=2（A′M+BM），由BN∥MA′，可知$\frac{MA′}{A′P}=\frac{NB}{PB}=\frac{MA′+BN}{A′P+PB}=\frac{1}{2}$，從而可求得∠BPN=∠MPA′=30°，從而可求得∠APB=120°．

解答 解：如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P．

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知；AP=PA′，
∵AP=PA′，
∴PA+PB=P′A+PB=A′P．
∵PA+PB最短為點(diǎn)A到直線l的距離與點(diǎn)B到直線L的距離之和的2倍，
∴$\frac{A′M+BN}{A′P+PB}=\frac{1}{2}$．
∵BN∥MA′，
∴$\frac{MA′}{A′P}=\frac{BN}{PB}=\frac{1}{2}$．
∴∠BPN=∠MPA′=30°，
∴∠APB=120°．
故答案為：120．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱--最短路徑問題，平行線分線段成比例定理、特殊銳角三角函數(shù)值、比例的性質(zhì)，利用特殊銳角三角函數(shù)值求得∠BPN=∠MPA′=30°是解題的關(guān)鍵．