Question

如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB于點B，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD，AD∥CE．
（1）求證：AD•CE=DE•DF．
（2）若∠DAE=30°，BC=2，AD=，AE：BE=2：3，求的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AF，OB，∠F=∠ABD=∠GDA，推出∠GDA+∠1=90°，求出DC是圓的切線，推出∠CDE=90°，證△ADF∽△DEC，得出比例式，求出即可；
（2）求出∠CEB=∠DAE=30°，求出BE、AE，設DE=x，DF=y，求出xy=10，根據(jù)相交弦定理求出x、y，求出圓的半徑，求出∠DOB，根據(jù)弧長公式求出即可．
解答：（1）證明：連接AF，OB，
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DAF=90°，
∵∠ADG=∠ABD，
而∠F=∠ABD．
∴∠ADG=∠F，
∵∠F+∠1=90°，
∴∠ADG+∠1=90°，
∴CG是⊙O的切線．
∴∠CDE=90°，
∵AD∥CE，
∴∠1=∠2，
∴△ADF∽△DEC，
∴=，
即AD•CE=DE•DF．

（2）解：∵AD∥CE，∠DAE=30°，
∴∠CEB=∠DAE=30°，
在Rt△EBC中，∵BC=2，
∴CE=4，BE=2，
∵AE：BE=2：3，
∴AE=，
設DE=x，DF=y
∵AD•CE=DE•DF，AD=，
∴xy=10，
∵由AE•BE=DE•EF，得×2=x（y-x），
解得x²=2，
x=，
∴y=5，
連接OB，于是∠DOB=60°，
∴的長為=，
答：的長為．
點評：本題考查了勾股定理，相交弦定理，圓周角定理，弧長公式，相似三角形的性質和判定，切線的性質和判定等知識點的應用，本題綜合性比較強，有一定的難度，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．