Question

20．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，作△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關(guān)于點(diǎn)B₁成中心對稱，再作△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關(guān)于點(diǎn)B₂成中心對稱，…，如此作下去，則△B₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₆的頂點(diǎn)A₂₀₁₆的坐標(biāo)是（4031，-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，可得A₁的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A₂、A₃、A₄的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出A_n的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A₂₀₁₆的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：∵△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，
∴A₁的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標(biāo)為（2，0），
∵△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關(guān)于點(diǎn)B₁成中心對稱，
∴點(diǎn)A₂與點(diǎn)A₁關(guān)于點(diǎn)B₁成中心對稱，
∵2×2-1=3，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A₂的坐標(biāo)是（3，-$\sqrt{3}$），
∵△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關(guān)于點(diǎn)B₂成中心對稱，
∴點(diǎn)A₃與點(diǎn)A₂關(guān)于點(diǎn)B₂成中心對稱，
∵2×4-3=5，2×0-（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A₃的坐標(biāo)是（5，$\sqrt{3}$），
∵△B₃A₄B₄與△B₃A₃B₂關(guān)于點(diǎn)B₃成中心對稱，
∴點(diǎn)A₄與點(diǎn)A₃關(guān)于點(diǎn)B₃成中心對稱，
∵2×6-5=7，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A₄的坐標(biāo)是（7，-$\sqrt{3}$），
…，
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，
∴A_n的橫坐標(biāo)是2n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A_n的縱坐標(biāo)是$\sqrt{3}$，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A_n的縱坐標(biāo)是-$\sqrt{3}$，
∴△B₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₆的頂點(diǎn)A₂₀₁₆的坐標(biāo)是（4031，-$\sqrt{3}$），
故答案為：（4031，-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握中心對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出A_n的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少．