Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，過D作DF⊥AC，垂足為F，連接BF交⊙O于E，求證：（1）DF是⊙O的切線；（2）BF：AF=FC：EF．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理的推論得出D為BC中點，再利用O為AB中點，得出DO∥AC，從而得出OD⊥DF，問題得證；
（2）首先利用切割線定理得出

BF

AF

=

FG

EF

，再利用圓內接四邊形的性質得出∠ABC=∠DGC，進而利用等腰三角形的性質得出FG=FC，即可證出BF：AF=FC：EF．

解答：證明：（1）連接AD，DO，
∵AB為直徑作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直徑所對圓周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）設AC與⊙O交于一點G，
∵AF，FB都為⊙O的割線，
∴FG•FA=FE•FB，
∴

BF

AF

=

FG

EF

，
∵∠ABC=∠DGC，（圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴

BF

AF

=

FC

AF

，
即BF：AF=FC：EF．

點評：此題主要考查了圓周角定理的推論以及圓內接四邊形的性質和等腰三角形的性質、切線的判定等知識，利用已知轉換線段等量關系，從而證明結論是證明題中常用思想，同學們應有意識的應用．