Question

4．如圖，⊙O的半徑為10cm，G是直徑AB上一點(diǎn)，弦CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，CD=16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE-BF的值．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線(xiàn)，綜合運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷，由勾股定理求出OM，即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接OC，延長(zhǎng)AE交⊙O于點(diǎn)H，連接BH；
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BH于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M；
則HN=BN，CM=DM=$\frac{1}{2}$CD=8，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AHB=90°；
∵AE⊥CD，
∴CD∥BH；
∵ON⊥BH，BF⊥CD，
∴EH=MN=BF（設(shè)為x）；
∵AO=B0，HN=BN，
∴ON為△ABH的中位線(xiàn)，
∴AH=2ON，
即AE+x=2（OM+x），AE-x=2OM；
由勾股定理得：
OM²=OC²-CG²=100-64=36，
∴OM=6，2OM=12；
∴AE-BF=12．

點(diǎn)評(píng) 該命題以圓為載體，以垂徑定理、勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理等幾何知識(shí)點(diǎn)為考查的核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．