Question

如圖，等邊三角形ABC內有一個正方形DEFG，已知等邊三角形邊長為3，則正方形的邊長為

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質,正方形的性質

專題：計算題

分析：過A作AM垂直于BC，交BC于M點，交DG于N點，由四邊形DEFG為正方形，得到DG與BC平行，且四條邊相等，設正方形的邊長為x，由兩直線平行得到兩對同位角相等，利用兩對角相等的三角形相似可得出三角形ADG與三角形ABC相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為正方形的邊長．

解答：解：過A作AM⊥BC，交BC于M，交DG于N，如圖所示：

∵四邊形DEFG為正方形，
∴DG∥BC，DE=EF=FG=DG，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，AN⊥DG，
∴△ADG∽△ABC，
設DE=EF=FG=DG=x，
又△ABC為邊長為3的等邊三角形，AM⊥BC，
∴M為BC的中點，即BM=CM=

1

2

BC=

3

2

，
在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=

3 3

2

，
∴

DG

BC

=

AN

AM

，即

x

3

=

3 3 2 -x

3 3 2

，
解得：x=6

3

-9，
則正方形的邊長為6

3

-9．
故答案為：6

3

-9

點評：此題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的性質，以及正方形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．