Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=，分別以AB、AD、CD為半徑向外做半圓，四邊形EFGH的一邊FG與BC在同一條直線上，其余三邊與半圓相切，且分別與梯形ABCD的邊平行，則四邊形EFGH的周長是________．

Answer 1

68
分析：首先過點D作DR⊥BC于點R，過點H作HK⊥BC于點K，設CD的中點為O，GH與半圓O相切于點M，連接OM．易證得四邊形ABRD是矩形，四邊形EFKH是矩形，又由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=，可求得CD的長，由切線的性質(zhì)，可求得EF與BF的長，繼而求得GH的長，又由平行四邊形的面積，可求得CG的長，繼而求得答案．
解答：如圖，過點D作DR⊥BC于點R，過點H作HK⊥BC于點K，設CD的中點為O，GH與半圓O相切于點M，連接OM．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴AB∥DR，
∴四邊形ABRD是矩形．
∴DR=AB=6．
又∵sin∠BCD=，
∴=，
∴CD=10．
∴CR==8，
∴BC=AD+CR=8+8=16，
∵以AB為直徑的圓與EF相切，EF∥AB∥HK，
∴四邊形EFKH是矩形，
∴EH=FK，KH=EF，
∴BF=AB=3．
同理：EF=AB+AD=10．
∵CD∥GH，
∴∠G=∠BCD，
∴sin∠G=，
∵HK=EF=10，
∴GH==，GK=，
∵OM⊥GH，OM=CD=5，
∵CG•HK=GH•OM，
∴CG==，
∴CK=GK-CG=5，
∴RK=CR-CK=3，
∴EH=FK=BF+BR+RK=3+8+3=14，F(xiàn)G=FK+GK=14+=，
∴四邊形EFGH的周長是：EF+FG+GH+EH=10+++14=68．
故答案為：68．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．