Question

如圖，?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC長(zhǎng)為10cm，∠BAC=45°，∠DAC=30°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度，沿AC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)．以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）⊙P與平行四邊形ABCD的某一邊所在直線(xiàn)相切時(shí)，求t的值；
（2）若⊙P與AC、AD所在的直線(xiàn)交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)四邊形ABEF的面積為s，試求出s與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）分別根據(jù)當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，當(dāng)⊙P與DC相切時(shí)利用切線(xiàn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案即可；
（2）根據(jù)四邊形ABEF的面積為s=S_△AEF+S_△ABE，分別得出兩三角形面積即可．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接MP，
∵?ABCD中，∠DAC=30°，
∴∠MCP=30°，
∴MP=

1

2

PC，
∵AP=MP=t，
∴PC=2t，
∴t+2t=10，
解得：t=

10

3

；
如圖2，當(dāng)⊙P與DC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接FP，
∵?ABCD中，∠BAC=45°，
∴∠PCF=45°，
∴PC=

2

PF，
∵AP=FP=t，
∴PC=

2

t，
∴t+

2

t=10，
解得：t=10

2

-10；

（2）如圖3，連接BE，EF，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC于點(diǎn)N，
∵AE是⊙P的直徑，∠CAD=30°，
∴EF=

1

2

AE=t，
∴AF=

3

t，
∴S_△AEF=

1

2

×AF×EF=

3

2

t²，
設(shè)AN=x，則BN=x，NC=10-x，
∴tan∠BCN=

BN

NC

=

x

10-x

=

3

3

，
解得：x=5

3

-5，
∴S_△ABE=

1

2

×BN×AE=

1

2

×（5

3

-5）×2t=（5

3

-5）t，
∴四邊形ABEF的面積為s=S_△AEF+S_△ABE=

3

2

t²+（5

3

-5）t．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形面積求法和銳角三角函數(shù)關(guān)系，利用已知得出B到AC的距離是解題關(guān)鍵．