Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，E、F、G分別是AB、BC、CA上的動點，且AE=BF=CG，當△EFG的面積恰為△ABC面積的一半時，AE的長為________．

Answer 1

分析：可證明三個三角形AEG、BFE、CGF全等，則三角形ABC相似于三角形EFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG邊長，再設(shè)AE=x，則AG=1-x，過G點作AE邊上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
解答：解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，
∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，
∴△ABC∽△EFG，
∴（）²=，
即（）²=，
解得EF=，
∴EG=，
過G點作GH⊥AE于點H，設(shè)AE=x，則AG=2-x，
∴∠AGH=30°，AH=AG=（2-x）=1-x，
EH=AE-AH=x-（2-x）=x-1，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（2-x）²-（1-x）²=²-（x-1）²，
整理得，3x²-6x+2=0，
解得x=．
故答案為：．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，作輔助線，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．