Question

如圖，AB⊥AD于點A，CD⊥AD于點D，∠ABC的平分線BE交AD于點E，且BE⊥CE于點E，EF⊥BC于點F，求證：AE=DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由BE為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，再由一對直角相等，BE為公共邊，利用AAS得到三角形ABE與三角形FBE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AE=FE，對應角相等得到∠AEB=∠FEB，利用等角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，CE=CE，利用AAS得到三角形EFC與三角形EDC全等，利用全等三角形對應邊相等得到ED=FE，等量代換即可得證．

解答：證明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，EF⊥BC，
∴∠A=∠EFB=90°，∠D=∠EFC=90°，
∵∠ABC的平分線BE交AD于點E，
∴∠FBE=∠ABE，
在△EAB和△EFB中，

∠ABE=∠FBE ∠A=∠EFB BE=BE

，
∴△EAB≌△EFB（AAS），
∴AE=EF，∠AEB=∠FEB，
∵∠FEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中，

∠EFC=∠EDC=90° ∠FEC=∠DEC CE=CE

，
∴△CEF≌△CED（AAS），
∴EF=ED，
則AE=DE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．