Question

（2013•香坊區(qū)二模）在△ABC中，H為BC邊上一點(diǎn)，連接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分線分別交AH、AC于D、E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：AD=FC；
（2）如圖2，若BD=BH，且AE=2EF，作BM⊥DH，垂足為M，BM的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)G，請(qǐng)?zhí)骄烤�段DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DP∥AC交BC于點(diǎn)P，∵DP∥AC，DF∥BC根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出FC=DP，∠C=∠DPH，求出∠DPH=∠ABD，證△ABD≌△PBD，推出AD=DP即可；
（2）求出AD=AE，證△FDE∽△FAD，推出DF²=EF•AF，

DE

AD

=

EF

DF

，設(shè)AE=2a，EF=a，求出DF=

3

a，DE=

2 3

3

a，根據(jù)DF∥BC得出

DF

BC

=

EF

EC

，

EF

FC

=

DE

BD

，求出BC=3

3

a，BD=

4 3

3

a，延長(zhǎng)DF交BG延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求出BD=DQ=

4 3

3

a，QF=

1

3

3

a，證△FGQ∽△CGB求出GC=

9

5

a，即可得出答案．

解答：證明：（1）過(guò)D作DP∥AC交BC于點(diǎn)P，
∵DP∥AC，DF∥BC，
∴四邊形FDPC是平行四邊形，
∴FC=DP，∠C=∠DPH，
∵∠BAH=∠C，
∴∠DPH=∠ABD，
∵在△ABD與△PBD中

∠BAD=∠BPD ∠ABD=∠PBD BD=BD

∴△ABD≌△PBD（AAS），
∴AD=DP，
∵DP=FC．

（2）DF=

5 3

9

GC，
證明：∵BD=BH，
∴∠BDH=∠BHD，
∵∠BDH=∠ABD+∠BAD，∠BEA=∠EBC+∠BCA，∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠BCA，
∴∠AED=∠BDH=∠BHD=∠ADE，∠ABD=∠HAC=∠DBH，
∴AD=AE，
∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠EBC=∠DAE，
∵∠DFE=∠DFE，
∴△FDE∽△FAD，
∴DF²=EF•AF，

DE

AD

=

EF

DF

，
設(shè)AE=2a，EF=a，
∴AD=FC=2a，DF²=a•（2a+a）=3a²
∴DF=

3

a，
∴

DE

2a

=

a

3 a

∴DE=

2 3

3

a，
∵DF∥BC，
∴

DF

BC

=

EF

EC

，

EF

FC

=

DE

BD

，
∴

3 a

BC

=

a

a+2a

，

a

2a

=

2 3 3 a

BD

，
∴BC=3

3

a，BD=

4 3

3

a，
延長(zhǎng)DF交BG延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∴∠Q=∠QBC=∠QBD，
∴BD=DQ=

4 3

3

a，
∴QF=DQ-DF=

4 3

3

a-

3

a=

1

3

3

a，
∵∠BGC=∠FGQ，
∴△FGQ∽△CGB，
∴

QF

BC

=

FG

GC

=

FC-GC

GC

，
∴

1 3 3 a

3 3 a

=

2a-GC

GC

，
∴GC=

9

5

a，
∴

DF

GC

=

3 a

9 5 a

=

5 3

9

∴DF=

5 3

9

GC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．