Question

7．如圖，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，AH⊥DE于點(diǎn)H，連接CH并延長交AB邊于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O，給出下列命題：
①AD=DE ②DH=2$\sqrt{2}$EH ③△AEH∽△CFB ④HO=$\frac{1}{2}$AE
其中正確命題的序號是①③④（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=$\sqrt{2}$CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，得到①正確；設(shè)DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，求出HE=$\sqrt{2}$，得到2$\sqrt{2}$HE=$\sqrt{2}$≠1，故②錯誤；通過角的度數(shù)求出△AOH和△OEH是等腰三角形，從而得到④正確；由△AFH≌△CHE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AHF=∠HCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠HAO=∠AHO，求得∠HAO=∠BCF即可證得△AEH∽△CFB，故③正確．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
故①正確；
設(shè)DH=1，
則AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴HE=$\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{2}$HE=2$\sqrt{2}$≠1，
故②錯誤；
∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CD，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE，
故④正確；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH與△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠HCE=22.5°}\\{∠FAH=∠HEC=45°}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CHE，
∴∠AHF=∠HCE，
∵AO=OH，
∴∠HAO=∠AHO，
∴∠HAO=∠BCF，∵∠B=∠AHE=90°，
∴△AEH∽△CFB，故③正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．