Question

7．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-1），P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，求經(jīng)過點(diǎn)P且和這個(gè)圓相切的直線的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以求得線段PB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可以求得經(jīng)過點(diǎn)P且和這個(gè)圓相切的直線的解析式．

解答 解：∵y=x²-2x-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-1），P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a²-2a-3），
∴線段PB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{a+3}{2}，\frac{{a}^{2}-2a-3}{2}$），
∵以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，
∴$\sqrt{（\frac{{a}^{2}-2a-3}{2}+1）^{2}+（\frac{a+3}{2}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{（{a}^{2}-2a-3-0）^{2}+（a-3）^{2}}}{2}$，
解得，a=2或a=-2（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-3），
設(shè)過點(diǎn)P（2，-3）和點(diǎn)B（3，0）的直線的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$
即過點(diǎn)P（2，-3）和點(diǎn)B（3，0）的直線的解析式為y=3x-9，
∴可設(shè)過點(diǎn)P（2，-3）且和這個(gè)圓相切的直線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}x+c$，
∴-3=$-\frac{1}{3}×2+c$，得c=$-\frac{7}{3}$，
即過點(diǎn)P且和這個(gè)圓相切的直線的解析式為：y=$-\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．