Question

13．已知拋物線y=x²+bx+c，點A_n（a_n，-4）為拋物線的頂點，且a₁=1，a_n+1=a_n+1（n＞0）．以A₁為頂點的拋物線記為C₁，以A₂為頂點的拋物線記為C₂，…以A_n為頂點的拋物線記為C_n．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，C₁與x軸交于B、C兩點（點B在點C的右側(cè)），與y軸交于點D，拋物線上是否存在一點P，使△POB與△POD全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，C₂₀₁₇與x軸交于B、C兩點（點B在點C的右側(cè)），直線x=2016與C₂₀₁₇、直線A₂₀₁₇B、x軸分別交于點D、E、F，試判斷以線段A₂₀₁₇B為直徑的圓與直線x=2016的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（2）根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，可得PB=PD，根據(jù)方程，可得答案；
（3）根據(jù)a_n+1=a_n+1，可得A₂₀₁₇坐標，根據(jù)圖象平移規(guī)律，可得B點，根據(jù)線段中點公式，可得A₂₀₁₇B的中點，根據(jù)到與直線的距離，可得圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，可得A₂₀₁₇B的長，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，可得答案．

解答 解：（1）∵a₁=1，
∴C₁的頂點為（1，-4），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=1}\\{\frac{4c-^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以拋物線C₁的解析式是：y=x²-2x-3；

（2）如圖1，設(shè)P（x，（x-1）²-4），當x=0時，y=-3，即D（0，-3），
當y=0時，x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1，即B（3，0），
OB=OD，PO=PO，當PB=PD時，△POB≌△POD，
（x-3）²+[（x-1）²-4]²=x²+[（x-1）²-4+3]²，
化簡，得x²-x-3=0，
解得x₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
y₁=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，y₂=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
P₁（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$），P₂（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）；

（3）如圖2，A₂₀₁₆（2017，-4），B（2019，0），A₂₀₁₆B的中點O（2018，-2）
O到直線x=2016距離為2018-2016=2，
而圓的半徑為$\frac{{A}_{2016}B}{2}$=$\frac{\sqrt{（2019-2017）^{2}+（0+4）^{2}}}{2}$=$\sqrt{5}$，
因為2＜$\sqrt{5}$，
所以直線x=2016與圓相交．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用頂點坐標公式得出方程組是解題關(guān)鍵；（2）利用三角形全等的條件得出PB=PD是解題關(guān)鍵；（3）利用圖象平移規(guī)律得出A₂₀₁₆、B點坐標是解題關(guān)鍵，又利用了直線與圓的位置關(guān)系．