Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+b與x軸相交于點C，與反比例函數(shù)在第一象限內的圖象相交于點A（1，8）、B（m，2）．
（1）求該反比例函數(shù)和直線y=kx+b的表達式；
（2）求證：△OBC為直角三角形；
（3）設∠ACO=α，點Q為反比例函數(shù)在第一象限內的圖象上一動點且滿足90°-α＜∠QOC＜α，求點Q的橫坐標q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后求得B的坐標，則利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）過點B作BD⊥OC于點D，在直角△OBD和直角△OBC中，利用勾股定理求得OB²和BC²，然后利用勾股定理的逆定理即可證明；
（3）分成Q在B的左側和右側兩種情況討論，當在右側時一定不成立，當在左側時，判斷是否存在點Q時∠QCO=90°-α即可．

解答 解：（1）設反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{k}{x}$，
把（1，8）代入得k=8，
則反比例函數(shù)表達式為y=$\frac{8}{x}$，
把（m，2）代入得m=$\frac{8}{2}$=4，
則B的坐標是（4，2）．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=8}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
，則直線表達式y(tǒng)=-2x+10；
（2）過點B作BD⊥OC于點D，（圖1）則D的坐標是（4，0）．
在y=-2x+10中，令y=0，解得x=5，則OC=5．
∵在直角△OBD中，BD=2，OD=OC-OD=5-5=1，
則OB²=OD²+BD²=4²+2²=20，
同理，直角△BCD中，BC²=BD²+CD²=2²+1²=5=25，
∴OB²+BC²=OC²，
∴△OBC是直角三角形；
（3）當Q在B的右側時一定不成立．
在y=-2x+10中，令x=0，則y=10，
則當Q在的左邊時，（圖2）tan∠ACO=tanα=2，
則tan（90°-α）=$\frac{1}{2}$．
當∠QCO=90°-α是，Q的橫坐標是p，則縱坐標是$\frac{8}{p}$，
tan∠QCO=tan（90°-α）=$\frac{8}{p}$：（5-p）=$\frac{1}{2}$．
即p²-5p+16=0，
△=25-4×16=-39＜0，則Q不存在．
故當Q在AB之間時，滿足條件，
因而2＜q＜4．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式以及正切函數(shù)的性質，判斷Q在AB之間是關鍵．