Question

如圖，點(diǎn)P在x軸上，且，點(diǎn)M也在x軸上，在OA上找點(diǎn)N，以P、M、N為頂點(diǎn)作正方形，則ON=________（如結(jié)果中有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）．

Answer 1

2或3-或3+
分析：根據(jù)題意，因?yàn)镻N是邊還是對(duì)角線沒(méi)有明確，所以分①PN是正方形的邊長(zhǎng)，②PN是正方形的對(duì)角線，且∠OPN=45°與∠OPN=135°兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)出ON的長(zhǎng)度是2x，然后表示出正方形的邊長(zhǎng)與OP的長(zhǎng)度，再根據(jù)OP的長(zhǎng)度列式求解．
解答：設(shè)ON=2x，
①如圖1，當(dāng)PN是正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，

∵∠AOP=30°，
∴OP=2x•cos30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x=1，
∴ON=2x=2；
②如圖2，PN是正方形的對(duì)角線，且∠OPN=45°時(shí)

∵∠AOP=30°，
∴OM=2x•cos30°=2x×=x，
MP=MN=ON•sin30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x+x=，
解得x=，
∴ON=2x=3-；
③如圖3，PN是正方形的對(duì)角線，且∠OPN=135°時(shí)，

∵∠AOP=30°，
∴OM=2x•cos30°=2x×=x
MP=MN=ON•sin30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x-x=，
解得x=，
∴ON=2x=3+．
綜上所述，ON的值為：2或3-或3+．
故答案為：2或3-或3+．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，30°角的正弦與余弦，難度不是很大，但要注意分情況討論，容易漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．