Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC=30°，點D是AC邊上一點，BC=DC，以DC為一邊作等邊三角形DCE．
（1）求證：BD=OE；
（2）將△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）得到△D₁CE₁（如圖2），判斷BD₁與OE₁是否相等，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB，∠A=30°，
∴OC=AB，BC=AB，
∴OC=BC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠OCB=90°-30°=60°，
∵△DCE是等邊三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD=∠DCE+∠OCD，
即∠BCD=∠OCE=90°，
在△BCD和△OCE中

∴△BCD≌△OCE，
∴BD=CE．

（2）解：BD₁與OE₁相等，
理由是：∵△D₁CE是等邊三角形，
∴CD₁=CE₁，∠D₁CE₁=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD₁=∠D₁CE₁+∠OCD₁，
即∠BCD₁=∠OCE₁，
在△BCD₁和△OCE₁中

∴△BCD₁≌△OCE₁，
∴BD₁=OE₁．
分析：（1）求出BC=OC，CD=CE，∠BCD=∠OCE，證出△BCD≌△OCE即可；
（2）求出BC=OC，CD₁=CE₁，∠BCD₁=∠OCE₁，證出△BCD₁≌△OCE₁即可．
點評：本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，直徑三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能推出△BCD≌△OCE，△BCD₁≌△OCE₁．