Question

17．（1）如果將一副三角板△ABC和△BED如圖1放置，其中∠BAC=∠BDE=90°，BD=ED，AD∥BE，AC與ED交于點P，求證：AB=AP．
（2）如果將一副三角板△ABC和△BED如圖2放置，其中∠BAC=∠BDE=90°，BD=ED，AD∥BE，AC與ED的延長線交于點P，試問△ABP是軸對稱圖形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點A作AF⊥AD，交DB于點F，證得△BAF≌△PAD，可以證明BA=AP；
（2）過點A作AF⊥AD，交DB的延長線于點F，證得△BAF≌△PAD，可以證明BA=AP，從而證得△ABP是軸對稱圖形；

解答 （1）證明：如圖1，過點A作AF⊥AD，交DB于點F，

則△ADF為等腰直角三角形，
∴DA=AF．
∵∠1+∠FAP=90°，∠FAP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BAF與△PDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AF=AD}\\{∠AFB=∠ADP=135°}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△PAD（ASA），
∴AB=AP．

（2）證明：如圖2，過點A作AF⊥AD，交DB的延長線于點F，

則△ADF為等腰直角三角形，
∴AD=AF．
∵∠FAB+∠DAB=90°，∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠FAB=∠CAD．
在△BAF與△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠CAD}\\{AF=AD}\\{∠AFB=∠ADP=45°}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△PAD（ASA），
∴AB=AP，
∴△ABP是軸對稱圖形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．