Question

如圖（1），在正方形ABCD中，M為AB的中點，E為AB延長線上一點，MN⊥DM，且交
∠CBE的平分線于點N．

（1）DM與MN相等嗎？試說明理由．
（2）若將上述條件“M為AB的中點”改為“M為AB上任意一點”，其余條件不變，如圖（2），則DM與MN相等嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）過N作NF⊥AE于F，MN交BC于H， ∵HB∥NF， ∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN ∴===， ∴2NF=MF， 又∵NF=BF， ∴MB=BF=DA， 由以上可得△DAM≌△MFN 即可得DM=MN； （2）解：結(jié)論“DM=MN”仍成立． 證明：在AD上截取AF'=AM，連接F'M． ∵DF'=AD﹣AF'，MB=AB﹣AM， AD=AB，AF'=AM， ∴DF'=MB， ∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°， ∴∠F'DM=∠BMN． 又∠DF'M=∠MBN=135°， 在△DF'M和△MBN中 ， ∴△DF'M≌△MBN． ∴DM=MN．