Question

把一個(gè)含45°的三角板的銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，然后把三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB、DC于點(diǎn)M、N．

（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：MN=BM+DN．
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試判斷線段MN、BM、DN之間具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)MB到H，使BH=DN，連結(jié)AH，先利用“SAS”可判斷△ABH≌△ADN，則AH=AN，∠HAB=∠NAD，由于∠MAN=45°，則∠DAN+∠BAM=45°得到∠HAM=∠NAM，然后再根據(jù)“SAS”證明△AMH≌△AMN，則MH=MN，即HB+MB=MN，所以MN=BM+DN；

（2）在DN上截取BH=BM，與（1）一樣先證明△ADH≌△ABM，得到AH=AM，∠DAH=∠BAM，再利用“SAS”證明△ANH≌△AMN，得到NH=MN，而DN=DH+HN，

所以MN=DN-BM．

解答：
（1）證明：延長(zhǎng)MB到H，使BH=DN，連結(jié)AH，如圖（1），
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
在△ABH和△ADN中，

AB=AD ∠ABH=∠ADN BH=DN

，
∴△ABH≌△ADN（SAS），
∴AH=AN，∠HAB=∠NAD，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠HAB+∠BAM=45°，
∴∠HAM=∠NAM，
在△AMH和△AMN中，

AH=AN ∠HAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH=MN，即HB+MB=MN，
∴MN=BM+DN；

（2）解：MN=DN-BM．理由如下：
在DN上截取BH=BM，如圖（2），
與（1）一樣可證明△ADH≌△ABM，
∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAH+∠BAN=45°，
∴∠HAN=45°，
∴∠HAN=∠NAM，
在△ANH和△AMN中，

AH=AM ∠HAN=∠MAN AN=AN

，
∴△ANH≌△AMN（SAS），
∴NH=MN，
而DN=DH+HN，
∴BM+MN=DN，
即MN=DN-BM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．也考查了正方形的性質(zhì)．