Question

20．【試題背景】
已知：直線(xiàn)l∥m∥n∥k，平行線(xiàn)l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l、m、n、k這四條平行線(xiàn)上的四邊形稱(chēng)為“格線(xiàn)四邊形”．
【探究1】
（1）如圖1，正方形ABCD為“格線(xiàn)四邊形”，BE⊥l于點(diǎn)E，BE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)F．求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
【探究2】
（2）如圖2，菱形ABCD為“格線(xiàn)四邊形”且∠ADC=60°，△AEF是等邊三角形，AE⊥k于點(diǎn)E，∠AFD=90°，直線(xiàn)DF分別交直線(xiàn)l、k于點(diǎn)G、M．求證：EC=DF．
【拓展】
（3）如圖3，l∥k，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別落在直線(xiàn)l、k上，AB⊥k于點(diǎn)B，且AB=4，∠ACD=90°，直線(xiàn)CD分別交直線(xiàn)l、k于點(diǎn)G、M，點(diǎn)D、E分別是線(xiàn)段GM、BM上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AD=AE，DH⊥l于點(diǎn)H．猜想：DH在什么范圍內(nèi)，BC∥DE？并說(shuō)明此時(shí)BC∥DE的理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS證明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求解；
（2）連接AC，首先證明△ADC是等邊三角形，再證明△AFD≌△AEC（HL），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；
（3）連接AM，首先證明△ABE≌△ACD，然后證明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及等腰直角三角形 的性質(zhì)證明∠MBC=∠MED，則ED∥BC即可證得．

解答 解：（1）如圖1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=1，
∵BE=d₁+d₂=3，
∴AB=$\sqrt{{3^2}+{1^2}}=\sqrt{10}$，
∴正方形的邊長(zhǎng)是$\sqrt{10}$；
（2）如圖2，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，
又∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵△AEF是等邊三角形，∴AF=AE，
∴△AFD≌△AEC（HL），∴EC=DF．
（3）如圖3，
當(dāng)2＜DH＜4時(shí)，BC∥DE．
理由如下：
連接AM，
∵AB⊥k，∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∴在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（HL），
∴BE=CD；
∴在Rt△ABM和Rt△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ AM=AM\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），
∴BM=CM；
∴∠MBC=∠MCB
∴MB=MC，
∴∠MED=∠MDE，
∵在等腰三角形MDE和等腰三角形MCB中，∠DME=∠CMB，
∴∠MBC=∠MED，
∴ED∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，注意到每個(gè)小題之間的聯(lián)系，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵．