Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+2a與直線y=x-2b（a、b為常數(shù)，且|a|≠|(zhì)b|）交于點P，PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于N，△MNE是以MN為斜邊的等腰直角三角形，點P與點E在MN異側(cè)．
（1）當a=2，b=0時，點P的坐標為______，線段PE的長為______；
（2）當四邊形PMON的周長為8時，求線段PE的長；
（3）直接寫出線段PE的長（用含a或b的代數(shù)式表示）______．

Answer 1

解：（1）當a=2，b=0時，
兩直線的解析式分別為：y=-x+4與y=x，
聯(lián)立可得：，
解得：，
則點P的坐標為：（2，2）；
∵△MNE是以MN為斜邊的等腰直角三角形，點P與點E在MN異側(cè)，
∴此時點E于點O重合，
則PE=OP==2；
故答案為：（2，2），2；

（2）∵四邊形PMON的周長為8，
∴2PM+2PN=8，
∴PM+PN=4，
如圖2，延長PM到Q，使MQ=NP，連接EQ，
∵∠MEN=∠MPN=90°，∠MEN+∠ENP+∠MPN+∠PME=360°，
∴∠PNE+∠PME=180°，
∵∠PME+∠QME=180°，
∴∠PNE=∠QME，
∵在△PNE和△MQE中，
，
∴△PNE≌△QME（SAS），
∴PE=QE，∠PEN=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠PEM+∠PEN=∠MEN=90°，
即△PEQ是等腰直角三角形，
∴PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）=2；

（3）如圖1，聯(lián)立直線y=-x+2a與直線y=x-2b可得點P的坐標為；（a+b，a-b），
∴PM=|a-b|，PN=|a+b|，
如圖2，延長PM到Q，使MQ=NP，連接EQ，
∵∠MEN=∠MPN=90°，∠MEN+∠ENP+∠MPN+∠PME=360°，
∴∠PNE+∠PME=180°，
∵∠PME+∠QME=180°，
∴∠PNE=∠QME，
∵在△PNE和△MQE中，
，
∴△PNE≌△QME（SAS），
∴PE=QE，∠PEN=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠PEM+∠PEN=∠MEN=90°，
即△PEQ是等腰直角三角形，
∴PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）=（|a+b|+|a-b|）．
故答案為：（|a+b|+|a-b|）．
分析：（1）由a=2，b=0，可求得兩個一次函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立，即可求得點P的坐標；又由△MNE是以MN為斜邊的等腰直角三角形，點P與點E在MN異側(cè)，可得此時點E于點O重合，即可求得線段PE的長；
（2）由四邊形PMON的周長為8，可得PM+PN=4，然后延長PM到Q，使MQ=NP，連接EQ，易證得△PNE≌△QME，則可得△PEQ是等腰直角三角形，即可得PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）；
（3）由（2）可得PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）；又聯(lián)立直線y=-x+2a與直線y=x-2b，可求得點P的坐標為（a+b，a-b），則可得PM=|a-b|，PN=|a+b|，繼而求得答案．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．