Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A（-3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，-3）。點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行。直線y=-x+m過點C，交y軸于D點。
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵拋物線交軸于點A（-3，0），點B（1，0）， ∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為， 又∵拋物線交y軸于點E（0，-3）， 將（0，-3）代入上式，得a=1， ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即；
（2）∵點C是點A（-3，0）關(guān)于點B（1，0）的對稱點， ∴點C坐標(biāo)（5，0）， ∴將點C坐標(biāo)代入y=-x+m，得m=5， ∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5， 設(shè)K點的坐標(biāo)為（t，0）， 則H點的坐標(biāo)為（t，-t+5），G點的坐標(biāo)為（t，t2+2t-3）， ∵點K為線段AB上一動點， ∴-3≤t≤1， ∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-， ∵-3＜-＜1， ∴當(dāng)t=-時，線段HG的長度有最大值；
（3）∵點F是線段BC的重點，點B（1，0），點C（5，0）， ∴點F的坐標(biāo)為（3，0）， ∵直線l過點F且與y軸平行， ∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3， ∵點M在直線l上，點N在拋物線上， ∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（3，m），點N的坐標(biāo)為（n，n2+2n-3）， ∵點A（-3，0），點C（5，0）， ∴AC=8， 分情況討論： ①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8， 當(dāng)點N在點M的左側(cè)時，MN=3-n， ∴3-n=8，解得n=-5， ∴N點的坐標(biāo)為（-5，12）， 當(dāng)點N在點M的右側(cè)時，MN=n-3， ∴n-3=8，解得n=11， ∴N點的坐標(biāo)為（11，140）， ②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線， 由點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱， 取點F關(guān)于點B的對稱點P，則P點坐標(biāo)為（-1，0）， 過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N， 將x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4， 過點N，B作直線NB交直線l于點M， 在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°， ∴△BPN≌△BFM， ∴NB=MB， ∴四邊形ANCM為平行四邊形， ∴坐標(biāo)（-1，-4）的點N符合條件， 綜上所述，當(dāng)點N的坐標(biāo)為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。