Question

已知∠AOB=30°，點P在∠AOB的內(nèi)部，OP=a，若OA上有一動點M，OB上有一動點N，則△PMN的最小周長為________．（結(jié)果用含a的式子表示）

Answer 1

a
分析：作P關(guān)于直線OA的對稱點C，作P關(guān)于直線OB的對稱點D，連接CD，交AB于M，交OB于N，則此時△PMN的周長最小，連接OC，OD，根據(jù)對稱性質(zhì)得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，求出∠COD=60°，得出△COD是等邊三角形，推出CD=OC=OD=a，求出△PMN的周長的最小值是PM+MN+PN=CD，代入即可得出答案．
解答：
解：作P關(guān)于直線OA的對稱點C，作P關(guān)于直線OB的對稱點D，連接CD，交AB于M，交OB于N，
則此時△PMN的周長最小，
連接OC，OD，
∵P關(guān)于直線OA的對稱點C，P關(guān)于直線OB的對稱點D，
∴CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，
∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°，
∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=a，
即△PMN的周長的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a，
故答案為：a．
點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的M、N點的位置，題目比較好，但有一定的難度．