Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。

（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CP=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；
（3）探究在BC邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M并求出BM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作AE∥BC交CD于E，∠AED=∠C=∠D=60°，
∴△ADE為等邊三角形，∴AD=DE=9-4=5；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CD于M點(diǎn)，設(shè)DQ=CP=x，∠D=60°，則PD=9-x，QF=x，
S_△PDQ=PD×h=-（x-）²+，
又∵0≤x≤5，∴當(dāng)x=時(shí)，S_△PDQ最大值為；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，
則PD=DQ，9-x=x，x=，P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)QP，∠D=60°，則△PDQ為等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)Q作QM∥DC交BC于M，點(diǎn)M即為所求。
連結(jié)MP，則CP=PD=DQ=CM，∠D=60°，則△CPM為等邊三角形，
∴∠D=∠3=60°，
∴MP∥QD，
∴四邊形PDQM為平行四邊形，
又PD=PQ
∴四邊形PDQM為菱形，
BM=BC-MC=5-。