Question

已知：如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，E為垂足，P是CD延長線上的一點，PA交⊙O于F，GF切⊙O于F且與CP交于G，CH切⊙O于C且與AB的延長線交于H，如果GP²=GD•GC，AD平分∠BAP并交HP于M．
求證：（1）AB為⊙O的直徑；
（2）MH=MP；
（3）（證明過程中最好用數字表示角）．

Answer 1

證明：（1）連接BF，
∵GF是⊙O切線，GDC是⊙O的割線，∴GF²=GD•GC，
∵GP²=GD•GC，∴∠1=∠2，∠2=∠3，
又FG切⊙O于F，∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，又AB⊥CD于E，∴∠1+∠PAB=90°
∴∠AFB=90°，
∴AB為⊙O的直徑．

（2）連接AC．
∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD．
∴，，∴AC=AD，∠5=∠6
又AD平分∠BAF，∴∠6=∠7，∴∠5=∠7
∵CH切⊙O于C，∴∠8=∠9，∴∠ACH=∠ADP，
∴△ACH≌△ADP
∴AH=AP，又AD平分∠BAP，
∴MH=MP．

（3）連接DF、DB，
∵∠1=∠4，∠4=∠10，∴∠1=∠10，
∴△AFD∽△ADP，∴，
∵AP=AH，
∴AD²=AH•AF．
又AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
又AB⊥CD于E，
∴△AED∽△ADB，∴，
∴AD²=AE•AB．
又AD²=AH•AF，∴AE•AB=AH•AF，
∴．
分析：（1）連接BF，由切割線定理和已知條件可得：GP=GF，則∠1=∠2=∠3，再由弦切角定理得：∠3=∠4，從而推出∠1=∠4，又根據AB⊥CD，推得∠1+∠PAB=90°，證出∠AFB=90°，即AB為⊙O的直徑；
（2）連接AC，根據題意證明∠5=∠7，則△ACH≌△ADP，所以AH=AP，又AD平分∠BAP，根據等腰三角形性質：頂角的平分線也是底邊的中線得到MH=MP．
（3）可證明△AFD∽△ADP，則，又AP=AH，則AD²=AH•AF，再證明△AED∽△ADB，則，所以AD²=AE•AB，即得AH•AF=AE•AB，再化成比例式．
點評：本題考查的是相似三角形的應用和切割線定理，切線的性質定理，等腰三角形的性質定理．